UKURAN GEJALA PUSAT

 UKURAN GEJALA PUSAT

Ukuran gejala pusat merupakan suatu bilangan yang menunjukan sekitar dimana bilangan – bilangan yang ada dalam kumpulan data, oleh karenanya ukuran gejala pusat ini sering disebut dengan harga rata – rata. Harga rata – rata dari sekelompok data itu diharapkan dapat diwakili seluruh harga – harga yang ada dalam sekelompok data itu.

Sebelum membahas hal ini, perlu diperjelas tentang apa yang dimaksud dengan data yang dikelompokkan dan data yang tidak dikelompokkan. Data yang dikelompokkan adalah data yang sudah disusun ke dalam sebuah distribusi frekuensi sehingga data tersebut mempunyai interval kelas yang jelas, mempunyai titik tengah kelas sedangkan data yang tidak dikelompokkan adalah data yang tidak disusun ke dalam distribusi frekuensi sehingga tidak mempunyai interval kelas dan titik tengah kelas.

Mean, Median, Modus sama-sama merupakan ukuran pemusatan data yang termasuk kedalam analisis statistika deskriptif. Namun, ketiganya memiliki kelebihan dan kekurangannya masing-masing dalam menerangkan suatu ukuran pemusatan data. Untuk tahu kegunaannya masing-masing dan kapan kita mempergunakannya, perlu diketahui terlebih dahulu pengertian analisis statistika deskriptif dan ukuran pemusatan data.

a.      Mean (Rata – Rata Hitung)

Dalam istilah sehari – hari, mean dikenal dengan sebutan angka rata – rata, ada dua macam mean yang di bicarakan yaitu : mean untuk data yang tidak dikelompokkan dan mean untuk data yang dikelompokan. Mean adalah total semua data dibagi jumlah data. Mean digunakan ketika data yang kita miliki memiliki sebaran normal atau mendekati normal (berbentuk setangkup, nilai yang paling banyak berada ditengah dan makin besar semakin sedikit, makin kecil makin sedikit pula, nilai-nilai ekstrim yang besar maupun yang kecil hampir tidak ada).

 

b.      Median (Nilai Tengan)

 

Ukuran pemusatan yang menempati posisi tengah jika data diurutkan menurut besarnya. Median adalah nilai yang berada ditengah-tengah data setelah diurutkan dari yang terkecil sampai terbesar. Median cocok digunakan bila data yang kita miliki tidak menyebar normal atau memiliki nilai yang berbeda-beda secara signifikan.

 

c.       Modus (Data Yang Sering Muncul)

 

Modus adalah suatu angka atau bilangan yang paling sering terjadi / muncul tetapi kalo pada data distribusi frekuensi interval modus terletak pada frekuensi yang paling besar.

 

d.      Kuartil

 

Kuartil adalah suatu harga yang membagi histogram frekuensi menjadi 4 bagian yang sama, sehingga disini akan terdapat 3 harga kuartil yaitu kuartil I ( K1), kuartil II (K2) dan kuartil III (K3), dimana harga kuarti II sama dengan harga median.

e.      Desil

Untuk kelompok data dimana n ≥ 10, dapat ditentukan 9 nilai bagian yang sama, misalnya D₁, D₂, … Q₉, artinya setiap bagian mempunyai jumlah observasi yang sama, sedemikian rupa sehingga nilai 10% data/observasi sama atau lebih kecil dari D₁, nilai 20% data/observasi sama atau lebih kecil dari D₂, dan seterusnya. Nilai tersebut dinamakan desil pertama, kedua dan seterusnya sampai desil kesembilan.

f.        Persentil

Untuk kelompok data dimana n ≥ 100, dapat ditentukan 99 nilai, P₁, P₂, … P₉₉, yang disebut persentil pertama, kedua dan ke-99, yang membagi kelompok data tersebut menjadi 100 bagian,masing-masing mempunyai bagian dengan jumlah observasi yang sama, dan sedemikian rupa sehingga 1% data/observasi sama atau lebih kecil dari P₁, 2% data/observasi sama atau lebih kecil dari P_2.

 

UKURAN VARIASI (DISPERSI)

 Dispersi atau variasi atau keragaman data adalah ukuran penyebaran suatu kelompok data terhadap pusat data.

a.      Range

Range merupakan selisih antara nilai data terbesar dengan data terkecil dari sekelompok data.

Rumusannya adalah R = Nilai maksimal – Nilai minimal

b.      Simpangan rata-rata

Simpangan Rata-Rata (Sr) : Yang dimaksud dengan simpangan (deviation) adalah selisih antara nilai pengamatan ke-i dengan nilai rata-rata, atau antara xi dengan X (X Rata-Rata) Penjumlahan daripada simpangan-simpangan dalam pengamatan kemudian dibagi dengan jumlah pengamatan, n, disebut dengan simpangan rata-rata.

 

Dalam setiap nilai Xi akan mempunyai simpangan sebesar xi – X. Karena nilai xi bervariasi di atas dan di bawah nilai rata-ratanya maka jika nilai simpangan tersebut dijumlahkan akan sama dengan “nol”. Untuk dapat menghitung rata-rata dari simpangan tersebut maka nilai yang diambil adalah nilai “absolut” dari simpangan itu sendiri, artinya tidak menghiraukan apakah nilai simpangan tersebut positif (+) atau negatif (-).an rata-rata.

c.       Variansi (variance)

Variansi (variance) adalah rata-rata kuadrat selisih atau kuadrat simpangan dari semua nilai data terhadap rata-rata hitung. Varians untuk sampel dilambangkan dengan S2. Sedangkan untuk populasi dilambangkan dengan toh kuadrat .

d.      Simpangan Baku (Standard Deviation)

Standar deviasi (standard deviation) adalah akar pangkat dua dari variansi. Standar deviasi seringkali disebut sebagai simpangan baku.

e.      Jangkauan Kuartil

Jangkauan Kuartil atau simpangan kuartil adalah setengah dari selisih antara kuartil atas (Q3) dengan kuartil bawah (Q1). Dengan rumus :

JK=1/2 (Q3-Q1)

f.       Jangkauan Persentil      

Jangkauan Persentil adalah selisih antara persentil ke-90 dengan persentil ke-10. Dengan rumus :

JP (10-90) = P90-P10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Data sekunder          

Sample data sekunder yang kami ambil yaitu jumlah penduduk kota Bogor tahun 2006 yang dikelompokan berdasarkan pembagian kecamatan dan berdasarkan jenis kelamin.

Sampel datanya ada sebagai berikut :

 

JUMLAH PENDUDUK KOTA BOGOR PER KECAMATAN

MENURUT JENIS KELAMIN TAHUN 2006

 

Kecamatan	Laki-Laki	Perempuan	Jumlah
Bogor Selatan	77.254	73.881	151.135
Bogor Timur	38.307	38.958	77.265
Bogor Utara	64.148	61.710	125.858
Bogor Barat	86.496	84.148	170.644
Bogor Tengah	60.235	60.235	120.470
Tanah Sareal	83.257	49.236	132.493
Jumlah	409.427	368.168	777.865

 

 

Data Yang Sudah Dikelompokan :

 

JUMLAH PENDUDUK (Dalam Ratusan)	f	Fkum	Mi	FiMi	µ	Mi – µ	(Mi  µ)2	F(Mi – µ)2
38,5 – 47,5	2	43	2	64	26,25	16,75	280,57	561,14
48,5 – 57,5	1	53	3	53	26,25	26,75	715,57	715,57
58,5 – 67,5	4	63	7	252	26,25	36,75	1350,57	5402,28
68,5 – 77,5	2	73	9	146	26,25	46,75	2185,57	4371,14
78,5 – 87,5	3	83	12	249	26,25	56,75	3220,57	9661,71
Jumlah	12	315	12					20711,84

 

 

 

Ø  Mean X = FiMi

∑Fi

= 315

12

= 26,25

 

 

Ø  Median = tbmed + (n/2 – Fk) . c

f

= 57,55 + (6 – 7) . 10

4

= 57,55 + (-10)

4

= 57,55 + (-2,5)

= 55,05

 

 

 

Ø  Modus = tbmod +    d₁   . c

d₂ + d₁

= 57,55 +   3      . 10

3 + 2

= 57,55 + 30

5

= 57,55 + 6

= 63,55

 

 

Ø  Kuartil

Kuartil dari data di atas :

 

Q₁        = 1(12)     = 12    = 3

4            4

Q₁        = tbQ + (1.n/4 – ∑fkum) . c

fQ

= 67,55 + (3 – 7) . 10

2

= 67,55 + (-40)

2

= 67,55 + (-20)

= 47,55

 

 

 

 

Q₃        = 3(12) = 36     = 9

4        4

Q₃        = tbQ + (1.n/4 – ∑fkum) . c

fQ

= 87,55 + (9 – 12) . 10

3

= 87,55 + (-30)

3

= 87,55 + (-10)

= 77,55

 

Ø  Desil

 

Desil dari data di atas :

 

iN          =   12   =  1,2

10              10

 

 

 

Ø  Persentil

 

Persentil dari data di atas :

 

iN        =  12    =  0,12

100         100

 

Ø  Simpangan rata-rata (Mean Deviation)

 

Simpangan rata-rata dari data di atas :

 

SR        =  1  ∑f   x  x

n

= 183,75

12

= 15,31

 

Ø  Simpangan (Varian)

 

Varian dari data di atas :

 

S²         =    1   ∑f(X – Mi)²

n – 1

= 20711,84

11

= 1882,90

 

 

Ø  Simpangan Baku

 

Simpangan Baku dari data di atas :

 

S          = √S²

= √1882,90

=43,39

 

 

Ø  Jangkauan Kuartil

 

Jangkauan Kuartil dari data di atas :

 

JK         = ½(Q₃ – Q₁)

= ½(77,55 – 47,55)

= ½(30)

= 15

 

 

Ø  Jangkauan Persentil

 

Jangkauan Persentil dari data di atas :

 

P₉₀                                       =  90 x 12  = 10,8

100

 

P₁₀                                       = 10 x 12    = 1,2

 

100

JP_90-10                  = P₉₀ – P₁₀

= 10,8 – 1,2

= 9,6

 

 Kesimpulan

•         Jadi Kesimpulan yang kami dapatkan :

•         Mean                          : 26,25

•         Median                        : 55,05

•         Modus                         : 63,55

•         Kuartil                         : Q1 = 47,55  Q3 = 77,55

•         Desil                            : 1,2

•         Persentil                      : 0,12

•         SR                              : 15,31

•         Simpangan Varian      : 1882,90

•         Simpangan baku         : 43,39

•         Jangkauan kuartil        : 15

•         Jangkauan persentil    : 9,6

•         P90                           : 10,8

•         P10                           : 1,2

 

DISTRIBUSI FREKUENSI (DF)

DISTRIBUSI FREKUENSI (DF)

Definisi :

Adalah salah satu bentuk tabel yang merupakan suatu penyusunan data ke dalam kelas-kelas tertentu dimana individu hanya termasuk ke dalam kelas tertentu.

 

1. 1.      Kelas

Adalah penggolongan data yang dibatasi oleh nilai terendah dan nilai tertinggi dalam suatu kelas.

1. Kelas Interval Lebar dari sebuah kelas dan dihitung dari perbedaan antara kedua tepi kelasnya.
2. Mid Point (titik tengah)Rata-rata dari kedua batas kelasnya/kelas limitnya.
3. Batas Kelas (class limit)Nilai batas tiap kelas dalam sebuah df dan dipergunakan sebagai pedoman guna memasukkan angka-angka hasil observasi ke dalam kelaskelas yang sesuai.

Batas Kelas :

1. 1.      Batas Kelas Bawah (lower class limit)

Batas pertama kelas

1. Batas Kelas Atas (upper class limit)

Batas kedua kelas

1. Tepi Kelas (class boundaries/true limits) :
   1. 1.      Tepi Kelas Bawah (lower class bounderis)

Batas kelas pertama yang benar-benar dimiliki oleh df tersebut, yaitu batas kelas bawah dikurangi 1digit dibelakang koma

1. Tepi Kelas Bawah (upper class bounderis)

Batas kelas kedua yang benar-benar dimiliki oleh df tersebut, yaitu batas kelas atas ditambah 1digit dibelakang koma

Contoh :

 

 

Untuk kelas pertama ( 5 – 9) :

Batas bawah kelas = 5

Batas atas Kelas = 9

Tepi bawah kelas = 4,5

Tepi atas kelas = 9.5

Titik Tengah = (5 + 9)/2 = 7 atau (9,5 + 4,5)/2 = 7

Cara Penyajian Data :

Data Random (acak)

Contoh

35,63 30,00 38,13 92,50

73,75 12,50 68,13 61,88

48,13 70,63 56,38 61,25

75,63 66,25 62,50 88,13

73,13 72,50 40,00 37,50

50,00 47,63 20,00 35,75

60,63 77,88 74,38 36,13

36,88 81,25 41,88 36,88

83,13 47,50 80,50 28,75

12,50 78,13 38,75 44,38

Data disusun dalam bentuk array (urutan dari data terkecil ke data terbesar)

12,50 37,50 56,38 73,75

12,50 38,13 60,63 74,38

20,00 38,75 61,25 75,63

28,75 40,00 61,88 77,88

30,00 41,88 62,50 78,13

35,63 44,38 66,25 80,50

35,75 47,50 68,13 81,25

36,13 47,63 70,63 83,13

36,88 48,13 72,50 88,13

36,88 50,00 73,13 92,50

maka dapat diketahui range data

Range = 92,50 – 12,50 = 80

TAHAP-TAHAP PENYUSUNAN DF

1. Menentukan Jumlah Kelas

Umumnya dilakukan oleh pertimbangan praktis yang masuk akal dari pengolah data itu sendiri. Mengenai hal tersebut, metode statistik tidak memberikan metode mutlak untuk melakukan hal tersebut. Hal umum yang harus diikuti adalah jumlah kelas jangan terlalu besar dan terlalu kecil. Aturan yang bisa digunakan adalah aturan H.A. Sturges (from “The choice of a Class Interval”, Journal of the American Statistical Association, 1926), yaitu :

K = 1 + 3,3 log n

K = jumlah kelas

n = jumlah data

Maka dari data tersebut bisa diperoleh data :

K = 1 + 3,3 log 40 = 6,29 atau 7

Penyusunan data menghendaki ke dalam 7 kelas

 

2. Interval kelas bisa ditentukan dengan :

I= r/k

i = interval kelas r = range k = jumlah kelas

maka, i = 80/6,29 = 12,72 atau 13 sehingga didapat :

atau

Penentuan untuk batas bawah kelas pertama bisa didapat dengan cara

• • Menentukan nilai yang lebih kecil dari nilai data terkecil dengan

mempertimbangkan interval kelas dan jumlah kelas, sehingga batas

kelas terbesar tidak terlalu besar atau masih bisa dimasukkan data

terbesar.

• • Batas bawah kelas pertama sama dengan data terkecil

 

Penentuan Mid Point

Caranya:

(Batas bawah + batas atas)/2

(tepi batas bawah + tepi batas bawah)/2

 

DISTRIBUSI FREKUENSI RELATIF DAN KUMULATIF

1. DF Relatif

Adalah df yang dinyatakan dalam bentuk persentase atau proporsi

Dengan rumus :

frel = (fi/Σ fi)x100

2. Df Kumulatif “Kurang Dari”

3. Df Kumulatif “Atau Lebih”

 

Grafik dari Tabel Frekuensi, Frekuensi Relatif, dan Kumulatif

Dalam beberapa hal seringkali data dari tabel disajikan dalam bentuk grafik, misalnya dalam bentuk histogram, frekuensi poligon, kurva frekuensi. Untuk membuat histogram, batas-batas kelas diubah terlebih dahulu menjadi tepi atas dan tepi bawah kelas. Untuk contoh di atas, kelas-kelasnya diubah menjadi 22,5-27,5; 27,5-32,5; 32,5-37,5, dst. Kemudian, setiap batangan (bar) dibuat pada kelas-kelas ini dengan tinggi sebesar frekuensi yang bersangkutan.Contoh gambar histogram adalah sebagai berikut:

Apabila titik tengah pada setiap batangan (bar) dihubungkan, maka kita akan memperoleh apa yang disebut poligon atau lengkapnya frequency poligon, seperti gambar berikut:

 

Apabila tabel frekuensi digambarkan grafiknya, maka akan terlihat suatu kurva. Kurva yang diperoleh itu disebut kurva frekuensi (frequency curve), dan seringkali bentuknya mendekati suatu fungsi tertentu. Kurva frekuensi yang paling terkenal dan sering digunakan dalam statistika adalah kurva normal. Gambar dari kurva normal adalah sebagai berikut:

 

Kurva Frekuensi Kumulatif (Ogive)
Terdapat dua jenis ogive yaitu ogive “kurang dari” dan ogive “lebih dari”. Ogive “kurang dari” dibuat dengan menggunakan tepi atas kelas (upper class boundary) sebagai sumbu absisnya (sumbu-x). Sumbu ordinatnya (sumbu-y) adalah kumulatif dari frekuensi kelas-kelas yang berada di bawah tepi atas kelas. Sedangkan untuk membuat ogive “lebih dari” kita menggunakan tepi bawah kelas (lower class boundary) sebagai sumbu absisnya (sumbu-x). Sumbu ordinatnya (sumbu-y) adalah kumulatif dari frekuensi kelas-kelas yang berada di atas tepi bawah kelas. Contoh gambar dari ogive adalah sebagai berikut:

Kurva Lorenz
Dalam analisis ekonomi, khususnya pada masalah pemerataan pendapatan, dikenal suatu kurva yang disebut Kurva Lorenz (Lorenz Curve). Kurva Lorenz pada dasarnya juga merupakan kurva frekuensi kumulatif. Sumbu absis dari Kurva Lorenz menunjukkan kumulatif jumlah penduduk. Sedangkan sumbu ordinatnya menunjukkan kumulatif pendapatan. Dalam praktiknya, sumbu absis menunjukkan angka persentase kumulatif dari penduduk. Sedangkan sumbu ordinatnya menunjukkan angka persentase kumulatif pendapatan. Idealnya, jika pendapatan terdistribusi secara merata ke seluruh penduduk maka bentuk kurvanya akan mendekati garis lurus (line of equality). Artinya, 1% penduduk menerima 1% pendapatan, 2% penduduk menerima 2% pendapatan, dst. Sebaliknya, jika pendapatan tidak terdistribusi secara merata maka kurva yang terbentuk akan menjauhi garis lurus (line of equality). Gambarnya sebagai berikut:

 

Pembagian pendapatan yang tidak sama atau kurang merata sering disebut sebagai “income gap“, yaitu jurang pemisah antara yang kaya (pendapatan tinggi) dan yang miskin (pendapatan rendah). Apabila income gap makin besar, sering terjadi kekacauan atau paling tidak menimbulkan rasa tidak puas masyarakat, yang kadang-kadang menjurus ke pemberontakan.

 

Sumber: http://zaneta9bp2.blogspot.com/p/contoh-tabel-distribusi-frekuensi_2795.html

Click to access BB079-31-05-2010-f9de3310510-DISTRIBUSI_FREKUENSI.pdf

http://statistikituseni.blogspot.com/2012/04/distribusi-frekuensi.html